「とどめを刺す」という意味合いであれば、
finish someone/something off
という表現があります。
これは相手を完膚なきまでにやっつけるとか、場合によっては「殺す」という意味のこともあります。
ただ、「完了する」という程度に使うこともできます。
最初の「ダメを押す」に戻ると、「とどめ」の他に「強く念を押す」という意味もありますね。
そういった意味であれば、make sure that 〜 （that 以下は念を押す内容）をさらに強めるために doubly（ = 二重に）をつけて、
make doubly sure that he completes the task
（絶対にその仕事を終わらせろとダメを押す）
といった言い方もできます。
日本 
