There was a time when I dreamed of becoming an actor.
「dream」を使って表現してみました。
There was a time when … → … という時期があった
I dreamed of becoming an actor→役者になりたいと思っていた
「there was a time when …」については、野口さんご説明のとおりです。
「～になりたいと思う（＝～に憧れる, ～を夢見る）」には「dream」を使ってみました。
「dream of becoming A」で「Aになることを夢見る, Aになりたいと思う」との意味です。
また、「時期（＝ある幅をもった時。期間）」とのニュアンスは表現できませんが、「once（＝あるとき, かつて, 以前）」を使うこともできます。
（例）
I once dreamed of becoming governor of Tokyo.→東京都知事になりたいと思っていたときがあります。
I once worked for a credit card company.→クレジットカード会社で働いていたことがあります。
野口さんのご回答と合わせて参考にしていただければ幸いです。
ご利用ありがとうございました。
There was a time when I wanted to become an actor.
There used to be a time when I wanted to be a singer.
I used to want to become an actor.
There was a time when ...で、〜という時期があった、の意味です。
used to を使うと、以前はそうだったけど、今はもう思っていないという表現。(wouldとよく比較されますが、wouldは今もしているかもしれないという可能性を残します)
また、timeという単語にとらわれず、I used to want to...〜したいとかつては思っていたと表現することも可能です。
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