Make sure the lid is shut/closed/fastened tightly.
上記のどちらも「ふたがしっかり閉まっていることを確認して」です。違う単語が使われているところは「閉まっている」の部分と「しっかり」の部分ですね。Yuさんのおっしゃる通り、何のふたなのかによって少しばかりニュアンスが変わり、使う単語も変わります。
もちろん「ふた」の部分も専門用語的な名前があるのであれば変わってくるかもしれませんが、基本は lid で良いと思います。参考に他の例をあげてみると cover や cap がありますね。
上記の例を見ながら on/shut/closed/fastened と properly/tightly のニュアンスの違いを説明します。
・Make sure the lid is on properly.
この場合「閉まっている」を on にしています。on は「乗せるだけ」のタイプのものに使います。味噌汁とかはこれですね。properly は「適切に」「しっかり」の意味なので基本はこれでいけますね。properly は回して閉める系のふたにも使えます！
・Make sure the lid is shut/closed/fastened tightly.
shut, closed は直訳「閉まっている」なのでドアとかにも使いますよね。なのでジャムとかのふたのようにしっかり閉まってる感のあるものに使います。fasten は「留める」の意味で、シートベルトとかにも使います。カチッと音をたてて閉まる系のふたとかは fasten がぴったりです、スタバのタンブラーとかのふたのイメージですかね。これらのようなふたには tightly で「しっかりと」を表すと良いと思います。tightly の直訳は「きつく」「かたく」「しっかりと」ですね。securely（安全に、しっかりと）や properly でも良いです。
もちろん、どのふたには絶対この表現、とかってわけではないし僕の説明もかなり感覚的な感じなので、そんなに気にする必要はないと思いますよ〜！
言い方二つで意味一緒
ふたがちゃんと閉まられてることを確認して。
Make sure the lid is shut properly
Make sure that you shut the lid tight
蓋がきちんと閉まってることを確認して
make sure→確認して
check→確かめる
どっちも使ってもいい、
make sureは少しだけ自然という気がします
アメリカ合衆国 
