英語には日本語の「たてまえ」表現となる「よろしくお願いします」という表現は存在しません。いつでも具体的に何が言いたいのか、についてストレートに言うのが、日本語ではない別の言語である英語ならではの感性なんですね～♪
従ってＲｉｎａ先生の言う通り、会えて嬉しいということを表現するのが一つの方法ですね。
また、相手が先生で謙虚に言いたい場合でしたら、「an honor to be with you.」、直訳だと「あなたとの時間が過ごせて光栄です。」という ”へりくだった” 言い方もまたできます。
"It's an honor to be with you in your class!"
「あなたのクラスに入れて光栄です！」
単に普通の人とあって普通のあいさつであればもう一つの言い方が "glad”（嬉しい）という単語を使った表現も。
I'm glad to meet you. （お会いできて嬉しいです。）
固くならない、カジュアルな表現として気楽に使えますね。
がんばってくださいね～！
I'm pleased to meet you.
シンプルに「お会いできて嬉しいです」というニュアンスになります。
I'm looking forward to 〜
〜を楽しみにしています。
日本語の「宜しくお願いします」を直訳する表現が英語にはないので、具体的な内容を指している場合は「何を宜しくお願いしたいのか」を明確にする必要があります。
例）
I'm looking forward to your lesson.
レッスンで、宜しくお願いします。
I'm looking forward to working with you.
仕事上で、宜しくお願いします。
この場合の「宜しくお願いします」の意味からすると多分Rinaさんも仰ったI'm looking forward toが適切な気がします。
I'm looking forward to your lesson＝貴方のレッスンを楽しみにしてます＝なのでレッスンでは良くして下さいね＝宜しくお願いします、のようなニュアンスになります。
普通の挨拶の宜しくお願いしますですとNice to meet youやPleasure to meet you＝お会いできて嬉しいです＝なので良くして下さいね＝宜しくお願いします、のようなニュアンスです。
初めて会ってすぐの「よろしくお願いします」は上記の通りです
（他にもいろいろありますが２つに絞りました）
初めて会っての色々が終了した時に、「どうも本日はありがとうございました」的な
あいさつありますよね。その時は：
It was a pleasure to meet you.
It was nice to meet you.
（＊過去形にしくださいね）
Nice to meet you.
はじめまして、よろしくお願いします、の意味でよく使われる定番フレーズです。
It's a pleasure to meet you!
お会いできて嬉しいです、という意味になります。
日本語の「よろしくお願いします」はとても便利なフレーズですが、英語ではぴったりな訳がありません。
なので、具体的に何を伝えたいのかを考えると訳しやすくなると思います。
日本 
アメリカ合衆国 
