I'd like to make my start date the beginning of next month.
I'd like to start my contract at the beginning of next month.
この場合、次のように言えますよ。
ーI'd like to make my start date the beginning of next month.
「開始日は来月の頭がいいです」
I'd like to make A B. で「AはBがいい」と言えます。
ーI'd like to start my contract at the beginning of next month.
「来月頭に契約を始めたい」＝「契約を始めるのは来月頭がいい」
このような言い方も自然です。
ご参考まで！
カナダ 
