"I'll do my best"
→「（最後まで）最善を尽くします」
"I won't give up"
→「（最後まで）諦めません」
基本的には上述のような「諦めない」といった意の言葉を用いるとよいでしょう。あきらめない→最後までやるというニュアンスが必然的に含まれ、意図は問題なく伝わるでしょう。
「努力する」ことよりも「最後まで終わらせる」ことを中心に伝えたいのであれば、
"I'll run it through"
と訳しましょう。"run"はただ走るという以外にも「実行する」「取り組む」といった意があります。
状況に応じて使い分けましょう。
「頑張る」が「諦めない」という気持ちであるというAndrewさんのご回答はその通りだと思います。
今回は、「最後まで」を「終わらせる」の表現を使って言ってみます。
この場合の動詞表現には、completeや get it finishedがありますね。
これに、「そうしたいからやらせて！」という気持ちの Let meをつければ
Let me get it finished.
という言い方になります。
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