1. Please contact the customer directly. は、「お客様へ直接ご連絡お願いします。」このフレーズを伝える相手が担当者の場合、「あなたの方から」を入れなくても良いかと思ったので、入れてません。もし相手が担当者ではない場合、Please have the representative contact the customer directly. （「担当者がお客様へ直接連絡してください。）になります。
2. The customer is wanting a quick response は、「お客様は、早めの返答を希望しています。」ここでは、wants (欲しい）という簡単な動詞を使っていますが、他にもrequest（お願いする）, ask for （頼む）という動詞を使うこともできます。例えば：
The customer is requesting for a quick response.
The customer is asking for a quick response.
3. Thanks for responding. は、「対応してくれて、ありがとう。」
少しでもお役に立てれば幸いです。
ありがとうございました。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
Please contact the customer.
お客様に連絡してください。
The customer is wanting a quick response.
お客様は早めの連絡を希望しています。
Thank you for your cooperation.
ご協力ありがとうございます。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
