He's full of himself =彼は天狗になっている
full of oneselfとは日本語で説明すると「自惚れている」と言ったところでしょう。必要以上に自信に満ち溢れていて周りがあまり見えていない状態を指します。
He's being cocky =彼は調子に乗っている
cockyとは「調子に乗っている」と言う意味です。
He's cockyだと「(元から)調子に乗った性格」と言う意味ですがHe's being cockyですと「(今の時点では)調子に乗っている」と言う意味になります。微妙に意味が違って来るので上手く使い分けましょう。
Cockyは日常会話で使う少し砕けた表現なので、ビジネスなどの設定では以下のような言葉を使いましょう:
arrogant =横柄、傲慢
overly-confident =自信過剰
conceited =見下す、気取っている
Good luck!
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