Your class gets fully booked quickly, (so it's difficult to book.)
「予約が埋まる」は、get fully booked で表現できます。
book には「予約する」という意味がありますので、過去分詞の booked は「予約されている／予約された」という意味です。
「〜になる」という意味の get と合わせて get fully booked で使えば、「全て予約されている状態になる」という意味になりますので、「予約が埋まる」の意味で使えます。
最後に、so it's difficult to book（だから、予約するのが難しい）や because you're popular （あなたは人気者だから）などを付け加えれば、予約ができないもどかしさが伝わると思います。
お役に立てれば幸いです。
booked up = 予約で埋まる
booked up は予約の余地がなく、満席の状態を表します。
他のアンカーさんが使っているfully bookedと同じ意味で使えます。
I really want to take your lesson, but your classes get booked up so quickly.
あなたのレッスンをすごく取りたいのですが、すぐに予約で埋まってしまいます。
「ものすごく～したい」 という表現はいろいろありますので「先生のレッスンを
本当に本当に取りたいの！」。という時は、こんな表現もあります。
I'm dying to take your lesson!
「死ぬほどあなたのレッスンをとりたいです」
こんな風に言われたら先生も嬉しいのではないでしょうか！
「予約がいっぱいになる」というのは、文脈によっては、○○ fills up quickly. と表現できます。
例）
The flight filled up quickly.
「フライトがすぐに埋まった」
The class filled up quickly.
「授業がすぐに埋まった」
おっしゃられている授業が1対1のレッスンのことならば、fill upは使わないと思いますが、多人数がとる授業の場合だったら、fill upが使えると思います。
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
お困りの時は、いつでも気軽にご質問ください(^0^)/
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日本 
