"I feel sorry"でも通じるのですが、「[気の毒](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/25062/)、かわいそう」というような同情の意味でも使われます。
なので、[申し訳ない](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/48054/)時は、"I am (terribly) sorry" がいいかと思います。
他には、Please accept my apologies (for....)で、
(その事に対して)申し訳ありません、という表現にもなります。
例：Please accept my apologies for the delay.
遅れて申し訳ありません。
ビジネスの場面などのような公式な場や正式な[謝罪](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/79243/)としてはapologizeという動詞がよく使われます。
I apologize for 〜.「〜について[お詫びいたします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38217/)」
mustをつけて
I must apologize for 〜.「〜について謝罪させていただかなければなりません」
のように言うこともできます。
ご参考になれば幸いです。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
I am terribly sorry for ...
I sincerely apologize for ...
いずれも「〜に対してとても申し訳なく思います」という意味の英語表現です。
apologize は sorry よりもフォーマルな響きがあります。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
