Now that it's getting colder, I'm starting to get ready for winter.
As it gets colder, I'm starting to prepare for winter.
自然な英語にする為には「寒いから」の直訳より、
「寒くなるにつれて」= As it gets colder
「寒くなり始まったの今」= Now that it's getting colder
というような流れの方が良いだと思います。
「支度をする」は get ready (for) または prepare (for) になります。
starting to は「し始める」という意味します。
ご参考になれば幸いです。