「枕元」は英語に訳すとこのようです。
(1) bedside
Bedside というのは本当は「ベッドの隣」の意味です。なので、英語圏でよく言う言葉は bed
side table です。Bedside table は「ベッドの隣にある小さなテーブル」です。
例文
I put a book on a bedside table.
ベッドの隣のテーブルに本を置いた。
(2) next to one's pillow/next to your pillow
こちらばベッドの上で、枕の隣のところです。
例文
He put a present next to her pillow.
彼が彼女の枕元にプレゼントを置きました。
ご参考までに。
「by the pillow」と表現できます。ここでの「by」は「〜のそばに」という意味で場所を示しており、「pillow」は枕を意味します。
例文としては、 I left a present by the pillow. 「枕元にプレゼントを置いておいた」
また、もう少し詳しく表現すると、 I placed a gift right beside the pillow on the bed. 「ベッドの枕の横にちょうどプレゼントを置いた」
関連する単語やフレーズ:
next to the pillow: 枕の隣に
at the bedside: ベッドサイドに
on the nightstand: ナイトスタンドの上に
by the head of the bed: ベッドの頭側に
アメリカ合衆国 
