他のアンカーの方が回答されている通り、オスだったら king で表現される事が多いでしょう。 ただ、その振る舞い次第で、例えば、ソファーでお腹を見せながら踏ん反り返って座っている姿であれば、president（社長）という表現をしたりします。 メスの場合は queen が多いですね。
１番目のそれぞれ単語についている ish は「的な」「みたいな」を意味します。 発音はリエイゾンを使って「キンギッシュ」というのではなく、「キング・イッシュ」という言い方になります。 元々そんな言葉は存在しないので、あえて２つの単語っぽく発音します。
この ish は他にも下記のような使い方があります。
See you tomorrow, maybe at around 3 ish?
訳： また明日ねー、んー、３時くらい？
around と言っているので ish は付ける必要はないんですが、付けてしまいます（笑） ish を付けるとさらに曖昧な感じになりますので、重要な時間決めの時には使いませんが、友達の待ち合わせ、特に外で待たせるような場合じゃないような、例えば、友達の家に遊びに行く、または自分の家に来てもらう、ようなカジュアルな場合によく使います。
My cat has been putting on some weight. He is very...king-ish in the sofa.
うちのネコは太ってきててさー、彼（オスの場合）はなんていうか、ソファで王様のように踏ん反り返っている。
この場合の very は「大変」というよりも、「なんていうか」というニュアンス（意訳）になります。
参考になれば幸いです☆
うちの猫は、だんだん太ってきて貫禄がでてきました、は以下のように英訳できます。
１）My cat is getting bigger like a man
＝男の人みたいに大きくなってきた
「だんだん～だ」はGet +比較形を使います。
今大きくなってきているので、進行形＋Get +比較形の構成を取ります。
Like ／～のようだ、の後は名詞だったらなんでも入れてOKです。
クリエイティブな表現を作りましょう。
２）My cat is getting chubbier like a big guy
＝大きい人みたいにぽっちゃりなってきた
Chubby（ちゃびぃ）は「ぽっちゃり」という意味。
ちなみに、女性などに使う「ふくよかな」は英語で「Curvy」と言います。
例）My cat is curvy＝うちの猫はふくよかです。
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