ご質問ありがとうございます。
どのようなビザの更新手続きですか？
おそらく外国人従業員様にパスポートを預かってもよいですかと聞くとNoと言われてしまうと思います。
外国でパスポートを預かるというとすごく悪いイメージがあるからです。
もちろん移民局などの場合は別ですが…
したがって、一般的にMay I please make a photocopy of your passport?/「パスポートのコピーをとらせてもらえないでしょうか？」と言います。
ご参考になりましたら幸いです。
Can you leave your passport with me while I’m processing your renewal?
１）”少しの間パスポートを借りてもいいですか” という表現です
Can I have ~? `〜を頂いてもいいですか” と食べ物屋での注文時にも使います。
for a while をつけることで、”しばらくの間” という表現になり、それ（パスポート）をその間だけあづかります という表現になります
ちなみに、ほんの少しの間（それより短い時間）と言いたい時は、｀for a little while と使えます
２）もしくは、”私がパスポートの手続きをしている間、パスポートをこちらに置いていっていただいてもいいですか？”という表現もあります
leave ~を置いていく
while 〜する間
日本 
