I'll just quickly rinse the cup with water, because there is some milk in it
"I'll just quickly rinse the cup"=「ササっとコップを水でリンスするね」
"with water"=「水で」
"because there is some milk in it"=「そこに少し牛乳が入っているから」
"rinse the cup with water"のバリエーションとして"Rinse out the cup with water"というふうに"out"を付けても良いです。("out"をいれると、残っているものを水で完全に流し落とす、というニュアンスがあります)