こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『自分のことで精一杯になる。』は、
I am occupied with personal matters. として、
『私事にかかりきりだ。』と表現してみました。
別の役立ちそうな例文も挙げておきますね！
『私は日々の暮らしで精いっぱいである。』
I barely get by every day
『私は自分のことだけで手いっぱいである。』
I have enough to do to look after myself.
『私は自分の生活で手いっぱいである。』
I am busy with my own life.
『私は赤ちゃんの世話で手いっぱいである。』
I have my hands full taking care of my baby.
メモ
occupied with ～に専念している、～で忙しい
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
「精一杯」を直訳すると(completely) filled upみたいなことに訳せると思います。実は今回の話としてそれはとても自然な言い方です。
例文：Since having a child, I'm completely filled up with personal things.
他のスラング（実際に使われている単語）は(totally) swampedです。
例文：After having a kid, I'm totally swamped with personal things.
ご参考になれば幸いです。
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