３つのフレーズを紹介しました。動詞の意味の違いを簡単に言うとI want to...「したい」 I feel like ..ing「したい気分」 I'm thinking of..「しようと思っている」です。
その後の部分はどれも「髪を切ってもらう」なのですが、
get my hair cutはget（使役動詞）＋my hair (名詞、目的を表す）＋cut（過去分詞）
getting a haircutのhaircutは名詞扱いなので気をつけてください。Getをhaveに置き換えることもできます。
「髪を切る」＝
I want to get my hair cut
I want to have my hair cut
I want to get a haircut
もし具体的にどんな髪型にしたいか言いたいときは
I want to get my hair...
short 髪を短くしたい
coloured 髪にカラーをいれたい
I want to change my hair.
（髪型を変えたい）
↓
I want to ～
（～したい）
change one's hair
（髪型を変える）
「〔髪を切ったり、染めたり〕ヘアスタイルを変えたい」
という意味です。
原文に近い意味になるかもしれません。
ならなかったらごめんなさい。
例）
Hey, did you change your hair? You look great!
髪型変えた？すごく似合うよ。
（The Frisky-Jun 25, 2013）
参考にしてください。
ありがとうございました。
have my hair cutは「髪を切ってもらう」という表現です。
cut my hairだと自分でハサミを持って鏡を見ながら髪を切ることになるので、使えます。
have O 過去分詞
の形だと「人に～してもらう」という意味を表します。
cutはcut-cut-cutと活用するから気づきにくいですが、have my hair cutのcutは過去分詞のcutです。
あとは、
I want to go to a hair salon.
「美容院に行きたい」
のように言っても良いですね(^^)
ご質問ありがとうございます。
・「I want to get my hair cut.」
（意味)髪を切りたいです。
<例文>I want to get my hair cut. I'm tired of this long hair. It's always in the way.
<訳>髪を切りたいです。この長い髪はもう飽きた。いつも邪魔です。
ご参考になれば幸いです。
日本 
アメリカ合衆国 
