○○さんを指名できますか？って英語でなんて言うの？

この場合の「指名」は、appoint などは使いません。 「◯◯さんは空いていますか」という意味で、available を使います。

「指名」は designate か specify になりますが、この場合でこれは硬い表現ですので、その代わりに Can I get ~ to cut my hair? か Can ~ style my hair? の方が自然な言い方です。 Can I get ~ to cut my hair? = ~さんは私の髪の毛を切れますか？ Can ~ style my hair? = ~さんは私の髪の毛をスタイルできますか？ 参考になれば幸いです。