I got my hair thinned out so it’s easier to manage.
髪をすいてもらった、は英語では I got my hair thinned out です。
もし髪をすいてもらいたい場合は Can you thin out my hair?と言えます。またスキバサミは英語では thinning shears といいます。
It’s easier to manage は扱いやすくなった という意味です。
"My hair is much easier to manage since it was thinned out at the salon."
"My hair is much easier to manage since it was thinned out at the salon."となります。
"Manage"という単語は「管理する」「扱う」などの意味がありますが、ここでは「扱う」の意味として使っています。
また「thinned out」は「薄くする」「まばらにする」といった意味ですが、美容に関しては「すいて軽くする」という意味になります。
アメリカ合衆国 
