”車の免許を取って、家の車の運転をしてみたいのに、親がさせてくれない（車を貸してくれない）”というシチュエーションです。 I got a driving licence, so I want to drive the my parents' car, but they don't let me drive the car. で可？
I got my driver's license so I want to drive my parents' car, but they won't let me drive it.
そのままでも内容は十分に伝わると思います。
アメリカでは運転免許を一般にdriver's licenseといいます。
I got my driver's license but my parents won't let me drive their car.（車の免許を取ったけど、両親は彼らの車を運転させてくれない）
質問者さんの文では I want to drive my parents' car (theはいりません), but they won't let me drive. (don't → won't ) と言うのであれば、間違いではありません。
I want to drive, but my parents won't let me drive their car.
「運転したいんだけど、両親が彼らの車を運転させてくれない」もお勧めしたいと思います。
細かいことですが、They won't let me drive. や They won't let me drive a car. という文章だけの場合には、両親が車の運転をさせてくれないことになります。親が過保護で危ないから運転させないという場合も含むでしょう。
They won't let me drive their car. というと「彼らの車を運転させてくれない」なので、それだけで車を貸してくれないということがわかります。
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