"friends with ~"
→「～と友達である」
"a friend of ~"
→「～の友達である」
二つの言い方のささいな違いですね。たしかに、ほぼ同様の状況でa friendという事はあります。しかしそれは例二つ目の言い方ですね。質問者様の見た問題で使われていたのは一つ目の言い方ですね。ニュアンスとしては違いは正直なところありません。しかし、詳細な意味としては、例二つ目は片方がもう片方の友達であるという一方的な関係を表しているに対し、例一つ目はお互いに友達であるという相互的な関係を表しているのです。だからfriendsとなるわけです。
Hey Kaz!
ユーコネクトの英語コーチのアーサーです。
この質問、面白いですね！僕は今まで考えたことがなかったんですが、自分の感覚を深く見て、理由がわかりました。
ポイントは、伴う前置詞です。
She is a friend of his motherは
彼女はお母さんの友達です。の直訳です。
of =の
しかし、
She is friends with his motherは中心が「friend」ではなく「be friends with」というフレーズです。
これは「友達であること」です。
二人の関係が中心ですから、複数になっています。この言い方も、少し柔らかい印象があります。
ですから、
She is a friend of his mother.
He is a friend of mine
ではなく、
She is friends with his mother.
He is friends with me
をぜひ使ってください。
よろしくお願いします！
アーサーより
アメリカ合衆国 
