こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
One of the brackets on my braces came loose.
とすると、「私の[歯列矯正](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/45766/)のブラケットが1つ緩みました。」となります。
「ブラケット」は英語でもbracketです。矯正器具全体はbraces、歯の表面に付いてワイヤーを支える個々の部品はbracketsと言います。
We need a mounting bracket for this shelf.
とすると、「この棚には取り付け用のブラケットが必要です」となります。物を固定する金具はmounting bracket、棚を支える金具ならshelf bracketが自然です。blanketは「毛布」で別の単語なので、つづりに注意してください。
役に立ちそうな単語とフレーズ
bracket ブラケット、支持金具
braces 歯列矯正の器具
mounting bracket 取り付け金具
come loose 緩む、外れかける
参考になれば幸いです。