「親バカ」は英語で
doting parent(s)
と言います。
例:
My friend is such a doting father, he spoils his kids all the time.
「友人はすごい親ばがで、いつも彼の子供たちを甘やかす」
父親に対して「親バカ」と言うなら doting father、母親なら doting mother のようにも言えます。
He's always doting on his daughter because she is the only daughter he has.
「彼の娘は一人娘なので、彼はいつも彼女を溺愛する」
doting の dote は動詞で「溺愛する」という意味です。
only daughter で「一人娘」
ご参考まで!