(3) Men often consider their lack of sleeping as a manly thing.
"show off"は「見せつける」という意味ですので、言うとすれば"show off his manliness(彼の男らしさを見せつける)"という表現はいかがでしょうか。(3)の"consider"は「見なす、考える」という意味です。
ところで、霊長類学から来た表現の"alpha male"は、もともとは「群れを支配するオスの個体」を意味していますが、「男の中の男」や「強いリーダー」という意味で使われることも多いです。
He is an alpha male.
(彼は男の中の男だ/強い男だ/リーダーのような男だ)
英会話講師のKOGACHIです(^^)/
「男らしい」はmanlyという形容詞を使います。
He thinks he is manly.
「彼は自分が男らしいと思っている」
以上ですm(_)m
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