ご質問ありがとうございます。
「花街」は日本の伝統的な文化の一つですので、普段にそういうことがそのままに英語になっています。例：Kabuki, sushi, Noh, sumo, etc...
「花街」だけでわかる外国人が少ないため、liesure districtで説明できると思います。pleasure districtも行けそうですが、「遊郭」の意味もありますので、ご注意ください。
例文：A "hanamachi" is a leisure district with things like cafes, restaurants, art houses.
ご参考いただければ幸いです。
geisha district 『芸者地区』
と表現するのが分かりやすいです。
あるいは、そのまま日本語を使い、
hanamachi 『花街』
として、その後に説明を加えることも多いです。
"Hanamachi is a traditional geisha district. It's an entertainment area where you can enjoy traditional Japanese performing arts and hospitality."
『花街は伝統的な芸者地区です。日本の伝統的な芸やもてなしを楽しめる娯楽のエリアです。』
アメリカ合衆国 
