ご質問ありがとうございます。
「花街」は日本の伝統的な文化の一つですので、普段にそういうことがそのままに英語になっています。例:Kabuki, sushi, Noh, sumo, etc...
「花街」だけでわかる外国人が少ないため、liesure districtで説明できると思います。pleasure districtも行けそうですが、「遊郭」の意味もありますので、ご注意ください。
例文:A "hanamachi" is a leisure district with things like cafes, restaurants, art houses.
ご参考いただければ幸いです。