「ヘアーアイロン」は英語で複数の言い方があって「flat iron」、「hair straightener」や「straightening iron」のどちらでも使えます。平たい部分があるので、「flat iron」と呼ばれていると思います。また、髪の毛を真っすぐにする道具なので「straightener」と呼ばれています。また、「straightener」だけでも伝わる時もあります。
ヘアーアイロン貸してくれない?先週壊れて髪の毛ずっとぼさぼさだったから。
Can I borrow your straightener? Mine broke last week and so my hair's been messy.