を悩ますって英語でなんて言うの？

"bother" は　「迷惑」や「うざい」「めんどくさい」と言う意味を表します。

"I can't be bothered doing my homework"
「宿題はめんどくさい」
"The traffic to work is a such a bother" 「仕事に行く時の渋滞は迷惑です」
"The neighbours loud music bothers me."
「お隣さんのうるさい音楽はうざい」

"puzzle" は 普通に ジグソーパズルのことや他の謎のことを指します。
または 「混乱」や　「困惑」と言う意味もあります。"confuse" と同じように使えます。

"I am puzzled" 「私は混乱しています」
"He has a puzzled look on his face" 「彼は困惑してる顔をしている」

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが丁寧に回答されていますので、ここでは2つの単語の区別について解説してみます。

bother someone で、人を『悩ます、困らせる』となり、puzzle は、『当惑させる、まごつかせる』という意味になります。例えば、

That is what is bothering me the most.
『それが私を一番悩ませていることです。』

He was puzzled by the fact.
『彼はその事実に戸惑った。』

というような文章ができますね！bother と puzzle は文脈により似たような使い方もできますが、『何かに悩まされる』を bother 、『当惑したり、させられたりする』を puzzle というように区別してもよいでしょう！

参考になれば幸いです。