英語でスポーツセンターと言っても通じますよ。
または次のような言い方もできます。
ーcity sports complex
（体育館以外の施設もある）
ーmunicipal gymnasium
例：
There's a brand new municipal gymnasium where I live which also has a swimming pool and tennis courts next to it.
「私の住むところに新しい市営体育館があり、プールとテニスコートも横にある」
ご参考まで！
カナダ 
