日本で使われている「エモい」とアメリカで使われている「emo」のルーツは同じだけど、意味や使い方はだいぶ違う気がします。
yuiさんの言う通り、「emo」は音楽のジャンルから来て、よくおおげさに悲観している人のことを「emo」と呼びます。
だけど、日本で使われている「エモい」はちょっと違うと私は感じたので少し調べてみました。
そして「エモい」とは何かという意見が沢山ありました。その中から：
「なつかしい」
「エモーショナル。言葉にできない儚さ」
「何かわからないけれど良い、情緒がある」
「なんともいえない感情」
このように使っているアメリカ人はいないと思うので少し訳しづらいかなと思います。でも、やっぱりemotional（感情的）から来ているのでそれが一番いいんじゃないかな。後、懐かしいと言う意味で使っているのであれば、nostalgicを使ってもいいと思います。
使い方は例えば：
This song makes me feel emotional. （この歌を聴いて感情的になる。）
This song is nostalgic. （この歌懐かしい！）
歌じゃなくても写真とか映画とかでも使えます。
アメリカ合衆国 
日本 
