言いがかりって英語でなんて言うの？

お客様センターの方は大変なんだろうなと昔から思っています。
さて分かりやすいのは「理不尽」「筋の通っていない」を意味する"unreasonable"を用いることですね。日本語でも否定形ではない方の「リーズナブル」は言葉として浸透していますが使い方自体は若干違うので注意。
なお言いがかりは言いがかりでもあきらかに誤った指摘などをされている場合は例二つ目の"false accusation"を用いましょう。こちらもそのままの意です。

"false statement"は「間違っている定義」
つまり、言いがかりという意味でも代用できますが、口語的には
"It is just wrong"
「それは間違っている」
という言い方がいいと思います。

"pick a flight"は「けんかをふっかけている」という意味で使われ、
「いちゃもん」「言いがかり」という意味と同じように使えます。
"You are picking a fight"
「あなたは言いがかりをしている」