虎視眈々って英語でなんて言うの？

「虎視眈々」をそのまま英語にするのは難しいので
「～しようとしている」と考えて英語にするのが
良いと思います。

「彼は虎視眈々と次期社長のポストを狙っている」
であれば

He aims to be the next president.
He is eager to be the next president.

で虎視眈々というニュアンスは出せると
思います。

参考になれば幸いです。

そのものズバリのものは無い？かもしれません。

意味がoverlapするものとして

He is "eager to" become the next president of the company.

彼は虎視眈々と次の社長になることを狙っている

があります。

ちなみにこの回答を台湾滞在中に書いています。

bide one's time という表現があります。

= to wait until the right moment to do something（Longmanより）

機会が訪れるまで待つという意味なので、当たらずとも遠からずの表現ではないでしょうか？

「彼は虎視眈々と次期社長のポストを狙っている。」は、

　He's biding his time to be the next president.

となります。