「口利きをする」は英語でput in a word,mediate
と言います。
put in a wordは、「言葉をさしはさむ」⇒「口利きをする」
になります。
mediateは、辞書には「仲介する、調停する」の意味が
出ていますが、状況によって「口利きをする」という
意味でも使われます。
「副社長は彼の採用で口利きをした」は
The vice-president put in a word for him,
so he could get the job.
The vice-president mediated for him,
so he could get the job.
で良いです。
参考になれば幸いです。