がむしゃらって英語でなんて言うの？

他の表現として franticallyも使えると思います。

【単語】
frantically (副詞) 必死に、死に物狂いで

workは「働く」が一般的ですが、「義務としての仕事に対して活動する」という意味も含んでいるため「勉強する」という意味でも使うことが出来ます。

例）I worked frantically.
私は必死に仕事(勉強)をした。

ご参考になれば幸いです。

「がむしゃらに…する」などという言い方をすると思うので、基本的には副詞にあたる言葉ですよね。
その場合、たとえば、frantically, recklessly, like a mad person のような表現が当てはまると思います。

上記の英訳１・２は、「がむしゃらに取り組んでいます！」というニュアンスになります。
このhell-bent は形容詞で、「固く決心して」「必死になって」という意味。go to town はもちろん「町へ行く」という意味もあるのですが、「（事を）うまく成し遂げる」という慣用表現でもあります。

英訳３は、「とにかく（絶対に）終わらせます！」という意味になります。
finishではなく、get it doneなどをさらっと使えるとこなれた感がぐんと増しますよ。

その他の表現：
- I'm hell-bent on getting this done.
- I'm going to just bust my chops!
*bust one's chops「必死に頑張る、打ち込む」
- I'll just get to work on it like a crazy person.
- I'll just do it like mad.

シンプルには"hard"でいいと思います。

”eagerly”は熱心にという意味
”furiously”の方が猛烈に、という強いニュアンスになります。