turn down：〜を突き放す、断る
ask someone for help：〜に助けを求める
He was asking me for help, but I simply turned it down.
彼は私に助けを求めてきたけど（頼ってきた）突き放しました。
補足ですが、もし「頼る」のニュアンスが「依存する」という感じでしたら
He was too dependent so I turned down his request.
彼は依存的だったので、彼の要求は断りました。
というようなニュアンスでも良いかと思います。
He asked me for help, but I refused it without hesitaion.
「彼は私を頼ってきたが」は日本語がやや抽象的ですが、
Rinaさんと同様に、「助けを求めてきた」と
解釈してHe asked me for helpとしました。
（He was asking me for helpでも大丈夫です）
ask+人+for help:人に助けを求める
「冷酷に突き放した」はrefused it without hesitaion.
としました。
refuseは「申し出を断る」という意味です。
without hesitaionは「躊躇することなく」
という意味で、この文の「冷酷に」に近い
意味を表します。
少しでも参考になれば幸いです。
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