生い立ちって英語でなんて言うの？

ぱっと思いつくのはbackgroundという単語です。
「背景」という意味ですが、その人物の生い立ちを表します。

「生い立ちについて話しませんか？」が話し相手の生い立ちを尋ねる意図を含んでいるのであれば、
What's your background?
「あなたの生い立ちは？」
くらいが自然かと思います。
（かなり直接的な聞き方です。生い立ちを話したがらない人もいるかもしれませんが、そうではない人であることをここでは想定しています。）

personal historyも生い立ちを表します。
I'm interested to know his personal history.
「彼の生い立ちに興味があるのですが」

early daysも生い立ちの意味で使われます。
He told me about his early days.
「彼は自分の生い立ちを教えてくれた」

ご参考になれば幸いです。

様々な言い方がありますが、background が一番使われている気がします。

相手に丁寧に聞きたい場合、以下の聞き方があります。
Could you tell me about your background?

また、言葉を変えてより具体的に聞くこともできます：
Where did you grow up?＝どこで育ったの？

是非参考にしてみてください。

おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いましたm(__)m
how you grew up
「どのように育ったか→生い立ち」
例）
Tell me about how you grew up.
「どのように育ったのか教えて下さい」

あとは、場合によっては、
your childhood experiences
「子供時代の経験」
と言っても良いと思います。
そういう意味で「生い立ち」という意味を使うことも多いと思います。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)