thoroughlyは、「細かい部分まで注意深く(何かをする)」や「完璧なまでに」や「隅なく」などのような意味をもち、thoroughという名詞の形容詞形です。日本語に訳すときに、「徹底的に」という言葉に相当します。
She was thoroughly ashamed of her rude remark.
彼女は自分の失礼な発言を恥ずかしく思った。
meticulouslyは、meticulousという動詞からきた言葉です。「全てが正しく行われいるよういつも小さな部分まで徹底的に確認している」のような意味合いが含まれています。大体日本語の「几帳面に」という言葉に相当します。
Thanks to his meticulous planning and budgeting our sales have risen dramatically in recent years.
彼の綿密な計画や予算編成のおかげ、近年、我々の売り上げが劇的に増加している。