「とどめを刺す」という意味合いであれば、
finish someone/something off
という表現があります。
これは相手を完膚なきまでにやっつけるとか、場合によっては「殺す」という意味のこともあります。
ただ、「完了する」という程度に使うこともできます。
最初の「ダメを押す」に戻ると、「とどめ」の他に「強く念を押す」という意味もありますね。
そういった意味であれば、make sure that 〜 （that 以下は念を押す内容）をさらに強めるために doubly（ = 二重に）をつけて、
make doubly sure that he completes the task
（絶対にその仕事を終わらせろとダメを押す）
といった言い方もできます。
英会話講師のKOGACHIです(^^♪
文脈によりますが、
nail in the coffinという表現もあります。
元々瀕死の状態のところにとどめを刺す一撃というニュアンスを表す表現です。
文脈により「ダメ押し」の訳語で使っても大丈夫だと思います(^^♪
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
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