思うつぼって英語でなんて言うの？

play into someone's handは「相手の思う壺はまる」、
「～の術中にはまる」という意味になります。

ニュアンスとしては「まんまと」、「ミスミス」という感じです。

「まんまと」というニュアンスを強調したいのであれば、
play right into someone's handの様に
rightを入れて下さい。

例文
That'll play right into his hand.
それでは彼の思う壺だよ。

fall into someone's trapは「相手の罠にはまる」
とい言う意味ですので、「相手の思う壺はまる」という
意味も表現できます。

例文
That'll fall into his trap.
それでは彼の思う壺だよ。

参考になれば幸いです。

it turned out just as he wantedは直訳すると、「彼が欲しがっていた通りになった」のような意味になります。it turned outは、「～（の）ようになった」や「～という結果になった｣の意味です。
「願望」を表す言葉としては、want「欲しい」が一番一般的に使われていますが、as (he) wantedのほかに、色んなバリエーションがあります。たとえば、
as (he) wished「望んだ通り・ように」
as (he) desired「欲求した通り・ように」
as (he) expected「期待していた通り・ように」

it all goes according to his planは直訳すると、「すべてが彼の計画（プラン）どおりにいく」のような意味になります。
according toは、「～通り（に）」や「～に従って」「～と一致して」などの意味のほかに、according to what he said「彼の話によると」according to the weather forecast「天気予報によると」のように、「～によると」という二つ目の意味もあります。

おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(^_^)
If you do that, you'll fall for his trap.
「それをすれば、彼の罠にハマることになるよ」
That will just make him happy.
「それだと彼を喜ばせるだけだよ」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)