「errand」とは、「雑用係、使い走り」。
こどものおつかいも「errand」なので、常にスラングの「パシリ」というネガティヴなイメージで使われるわけではありあせん。
動詞で「使い走りに行く」と言いたい場合は「run errands」と「run」とセットで使います。
例)
I'm sick of running errands for my boss!
(上司のパシリになるのはもううんざりだ!)
Whenever I watch a TV show "My first errand", I cry without exception.
(『はじめてのおつかい』をTVで見ると、必ず泣きます。)→私のことです。。