割り当てる は assign または delegate です。
When you have people working under you, you are responsible for assigning work to them.
(会社で部下がいるなら、仕事を割り当てる責任がある)。
The higher you go up the working ladder, the more work you need to delegate to your workers.
(会社で地位が高くなればなるほど、部下に仕事を割り当てないといけない)。
But at the same time, you are reponsible for all they do.
(でも同時に、その責任は全部あなたのもの)。
When you become manager, you need to delegate work to your employees.
(会社で監督の地位になると、従業員に仕事を割り当てないといけない)。
参考までに！
仕事を配分することは「Assign jobs」と言います。
質問者様の場合ですと：
- As you rise up the company ranks, you have to start assigning jobs to people（会社の上部に上がると、人に仕事を配分し始めなければならない）
また、「Delegate」もあります。
こちらは「委任する」と言うニュアンスです。
Assign よりもっとフォーマルな単語ですが、使い方は非常に似ています：
- I've delegated my SNS management tasks to him（SNS管理の作業は彼に委任した）
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