がんばれるって英語でなんて言うの？

1) Knowing that after the kids go to sleep I have some time to myself motivates me to take good care of them all day long.
「子供達が寝た後に自分の時間が待ってるってのは、１日しっかり子供達の世話をしようって気にさせてくれる。」というニュアンスです。
motivate 人 to ~ で「人を〜する気にさせる」

2) I look forward to a little break at night after my kids go to bed and that keeps me going during the day.
「子供達が寝た後の少しの休息の時間が楽しみだから、１日頑張れる。」
「頑張れる」は keep me going を使って表現しました。
または helps me get through the day とも言えます。
get through the day で「１日を切り抜ける」＝「１日頑張る」

ご参考になれば幸いです！