allow someone to open an independent shop under the same name
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
the business's name and reputation
とすると、「その店が築いてきた[屋号](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/71136/)と評判。」となります。
「のれん分け」は状況に応じて、allow someone to open an independent shop under the same name などと説明できますね!
役に立ちそうな単語とフレーズ
brand identity ブランドとしての特徴
established name 確立された屋号
customer trust 顧客からの信頼
independent branch 独立した支店
参考になれば幸いです。