膨らますって英語でなんて言うの？

『期待で胸がいっぱい』は、be full of hopeといいます。
例・I was full of hope when I joined this company.
（この会社に入った時、期待で胸がいっぱいだった）

それに対して風船やタイヤなど、空気を入れてふくらませるものは
I blew up a balloon.（カジュアル）や
He inflated the tires.（フォーマル） などのように言います。

期待に胸を膨らませると言うときと
風船を膨らませると言うときでは、
英語は表現が異なります。

「期待に胸を膨らませる」というのは比喩的な日本語なので、英語にするときも様々な表現が考えられます。

他の回答者さんの回答以外にも、

★My heart is filled with happy expectation.
（直訳: 私の心は期待でいっぱいです）

などが考えられます。

「風船を膨らませる」ときには

★I blow up a balloon.

と言います。
blowは「吹く」という意味で、
風船を膨らますときにはblow upと表現します。