stayは「留まる」という意味で、silentは「静か」という意味なので、合わせてstay silentは「静けさにとどまる」すなわち「黙る」です。
例
彼は会議中黙っていた。
He stayed silent during the meeting.
Shut upはあまり礼儀がいい言葉ではないですが、使い道は十分あります。人に言えば、「黙れ！」と同じです。
例
彼は怒られたあと黙っていた。
He shut up after being scolded. → （shutの過去形はそのままshutです。）
clamは「貝」ですが、貝が閉じて開かない様子からclam upで「無口、口を閉ざす」という意味で使われます。
He clammed about the incident.
「彼はその出来事について黙っていた」
When I asked her about her family, she clammed up.
「彼女に家族のことを尋ねたら、彼女は黙りこくってしまった」
ご参考まで
アメリカ合衆国 
日本 
