I'm an old-timer. 私は古株です。
という言い方ができます。
もちろん普通に、oldest staff member という風にも言えます。
I'm the oldest member here. 私はここで一番の古株だ。
oldには年を取った、つまり老いたという意味もありますが、年数が経っているという意味もあります。
上記の例文を、I'm the oldest here.としてしまうと、最年長というニュアンスになるので、memberとかstaffとかemployeeを入れるようにしましょう。