If the owner of a lost wallet doesn't claim it within a year, whoever picked it up has the right to keep it.
この場合の「名乗り出る」は claim を使っていうのが一番良いかなと思います。
claim は「請求する・（紛失物の）返還を求める」という意味です。
If the owner of a lost wallet doesn't claim it within a year, whoever picked it up has the right to keep it.
「失くした財布の持ち主が1年以内に名乗り出ないなら、拾った人が受け取る権利がある。」
「1年以内」は within a year
「拾う」は pick up
「〜する権利」は right to ~
「名乗り出る」は claim の他に come forward「現れる」を使っても表現できます。
ご参考になれば幸いです！
日本 
