諦めようとしたは最初の例の「tried to give up」となります。諦めるは「give up」でここは「tried」（tryの過去・過去分詞）で"～としてみた"と表し"諦めようとした"と表現してます。
二番目の例では「almost」で"諦めそうになった・諦めるところだった"と表現してます。
例
・I tried to give up on going to the party but my friend lent me a hand and I was able to go（パーティーに行くのを諦めようとしたけど友人に手を貸してもらって行ける様になった）
・I almost gave up on my dreams（夢を諦めるところだった）
ご質問ありがとうございます。
・「about to give up」
「almost gave up」
＝諦めようとした、諦めるところだった
（例文）He was about to give up.
（訳）彼は諦めるところだった。
（例文）I almost gave up but I'm glad I didn't.
（訳）諦めるところだったけど諦めなくて良かった。
便利な単語：
give up諦める
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Coco
I almost gave up.
諦めそうになりました。
I was about to give up.
もうすぐで諦めるところでした。
上記のように英語で表現することができます。
almost give up は「諦めそうになる」という意味の英語表現です。
about to give up は「もうすぐで諦める」です。
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