「後腐れ」は「後々のトラブル」と捉え直し、an after-troubleやa trouble afterwardsとすればよいでしょう。
後腐れなく断りたいということであれば、
I want to decline his invitation without leaving any after-troubles.
と表せます。
また、相手の気持ちを傷つけずにという意味合いであれば、without hurting his feelingsと表すこともできます。
I want to decline his invitation without hurting his feelings.
などと言えばよいでしょう。
参考になれば幸いです。