怪我をさせたの「させた」なら他動詞の injure や hurt を使えばいいですよ。
injure も hurt も 「人に怪我をさせる」という意味があります。
例)
I hurt my best friend playing football in high school and felt pretty bad about it.
「高校の時フットボールをしていて親友に怪我をさせ、とても申し訳なく思った。」
I injured somebody when I hit them from behind in rush hour traffic.
「ラッシュアワーの渋滞で(前の車に)後ろからぶつけてしまい、怪我をさせた。」
ご参考まで!