この場合の「手間取る」は be held up を使って言うと良いですよ。
be held up で「もたつく・手間取る」という意味です。
I was really held up checking in my bags at the airport on the way to my next flight so I missed my flight.
「乗り継ぎでカバンを預けるのに手間取ってしまい、飛行機に乗り遅れた。」
miss one's flight「飛行機に乗り遅れる」
I wasn't able to catch a connecting flight the other day because of a long delay at the check-in counter.
「チェックインカウンターで大幅に時間を取ってしまい、乗り継ぎ便に間に合わなかった。」
ご参考になれば幸いです！
「手間取る」は、文脈によっては、
end up spending too much time
「あまりにも時間をかけ過ぎてしまう羽目になる」
と訳しても良いかなと思います。
例）
I ended up spending too much time on the task.
「その作業に時間をかけ過ぎる羽目になってしまった→その作業に手間取った」
言いたかった内容については、他のアンカーの方の回答をご参考ください。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
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